Aufgaben 1 bis 4
Aufgabe 1
Richtige Antwort: B) 3x − 2
Erklärung:
Gegeben ist der Term:
(2x + 3) + (x − 5)
Zunächst können die Klammern aufgelöst werden:
2x + 3 + x − 5
Nun werden gleichartige Terme zusammengefasst.
Für die Terme mit x gilt:
2x + x = 3x
Für die Zahlen gilt:
3 − 5 = −2
Damit ergibt sich:
3x − 2
Damit ist B) 3x − 2 richtig.
Merke: Beim Vereinfachen von Termen dürfen nur gleichartige Terme miteinander zusammengefasst werden.
Aufgabe 2
Richtige Antwort: D) 10
Erklärung:
Gegeben ist die Gleichung:
3(2x − 1) = 5x + 7
Zuerst wird die Klammer ausmultipliziert:
6x − 3 = 5x + 7
Nun wird auf beiden Seiten 5x abgezogen:
x − 3 = 7
Anschließend werden auf beiden Seiten 3 addiert:
x = 10
Damit ist D) 10 richtig.
Merke: Löse zuerst vorhandene Klammern auf und bringe anschließend alle Terme mit der Unbekannten auf eine Seite der Gleichung.
Aufgabe 3
Richtige Antwort: A) s : v
Erklärung:
Gegeben ist die Formel:
s = v · t
Gesucht ist t.
Damit t allein auf einer Seite steht, werden beide Seiten durch v geteilt:
s : v = t
Damit gilt:
t = s : v
Da v ≠ 0 vorausgesetzt ist, ist diese Division zulässig.
Damit ist A) s : v richtig.
Merke: Beim Umstellen einer Formel führst du auf beiden Seiten dieselbe Rechenoperation durch.
Aufgabe 4
Richtige Antwort: C) 5⁴ = 625
Erklärung:
Gegeben ist:
5³ : 5⁻¹
Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten voneinander abgezogen:
5³ : 5⁻¹ = 5³⁻⁽⁻¹⁾
Das Minus vor dem negativen Exponenten wird zu Plus:
3 − (−1) = 4
Damit ergibt sich:
5⁴ = 625
Damit ist C) 5⁴ = 625 richtig.
Merke: Bei gleicher Basis gilt: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Ein negativer Exponent muss beim Subtrahieren besonders beachtet werden.
Aufgaben 5 bis 8
Aufgabe 5
Richtige Antwort: B) 2√2
Erklärung:
Gegeben ist:
√32 − √8
Zunächst werden beide Wurzeln vereinfacht.
Für √32 gilt:
√32 = √(16 · 2)
√32 = 4√2
Für √8 gilt:
√8 = √(4 · 2)
√8 = 2√2
Nun werden die beiden Terme subtrahiert:
4√2 − 2√2 = 2√2
Damit ist B) 2√2 richtig.
Merke: Wurzelterme können zusammengefasst werden, wenn nach dem Vereinfachen derselbe Wurzelterm übrig bleibt.
Aufgabe 6
Richtige Antwort: D) 3
Erklärung:
Gegeben ist:
(x − 2) / 3 = 1 − (x + 1) / 6
Um die Brüche zu beseitigen, wird die gesamte Gleichung mit 6 multipliziert:
2(x − 2) = 6 − (x + 1)
Nun werden die Klammern aufgelöst:
2x − 4 = 6 − x − 1
Die rechte Seite wird zusammengefasst:
2x − 4 = 5 − x
Nun wird x auf beiden Seiten addiert:
3x − 4 = 5
Anschließend werden 4 addiert:
3x = 9
Durch 3 teilen:
x = 3
Damit ist D) 3 richtig.
Merke: Bei Gleichungen mit Brüchen kannst du häufig zuerst mit dem gemeinsamen Nenner multiplizieren und dadurch die weitere Rechnung vereinfachen.
Aufgabe 7
Richtige Antwort: C) {−1; −3}
Erklärung:
Gegeben ist die quadratische Gleichung:
2x² + 8x + 6 = 0
Zunächst wird die gesamte Gleichung durch 2 geteilt:
x² + 4x + 3 = 0
Nun wird der Ausdruck faktorisiert.
Gesucht sind zwei Zahlen, deren Produkt 3 und deren Summe 4 ist:
1 · 3 = 3
1 + 3 = 4
Damit gilt:
x² + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)
Also:
(x + 1)(x + 3) = 0
Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.
Daraus folgt:
x + 1 = 0
x = −1
oder:
x + 3 = 0
x = −3
Die Lösungsmenge lautet daher:
{−1; −3}
Damit ist C) {−1; −3} richtig.
Merke: Lässt sich eine quadratische Gleichung faktorisieren, kannst du die Lösungen über die Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmen.
Aufgabe 8
Richtige Antwort: A) a + b
Erklärung:
Gegeben ist:
(a² − b²) / (a − b)
Im Zähler steht eine Differenz zweier Quadrate.
Dafür gilt die dritte binomische Formel:
a² − b² = (a − b)(a + b)
Damit wird der Ausdruck zu:
((a − b)(a + b)) / (a − b)
Da laut Aufgabenstellung a ≠ b gilt, ist a − b nicht null und darf gekürzt werden.
Es bleibt:
a + b
Damit ist A) a + b richtig.
Merke: Die Differenz zweier Quadrate lässt sich mit a² − b² = (a − b)(a + b) faktorisieren.