Aufgaben 1 bis 4
Aufgabe 1
Richtige Antwort: C) 11
Erklärung:
Gegeben ist:
f(x) = −2x + 5
Gesucht ist f(−3). Dafür wird −3 für x eingesetzt:
f(−3) = −2 · (−3) + 5
Zunächst wird multipliziert:
−2 · (−3) = 6
Dann:
6 + 5 = 11
Damit ist C) 11 richtig.
Merke: Um einen Funktionswert zu bestimmen, setzt du den gegebenen x-Wert in die Funktionsgleichung ein.
Aufgabe 2
Richtige Antwort: A) f(x) = 2x + 3
Erklärung:
Die Gerade verläuft durch die Punkte:
(−2|−1) und (1|5)
Zuerst wird die Steigung berechnet:
m = (5 − (−1)) : (1 − (−2))
m = 6 : 3
m = 2
Damit hat die Gerade zunächst die Form:
f(x) = 2x + b
Nun wird beispielsweise der Punkt (1|5) eingesetzt:
5 = 2 · 1 + b
5 = 2 + b
b = 3
Damit lautet die Funktionsgleichung:
f(x) = 2x + 3
Damit ist A) f(x) = 2x + 3 richtig.
Merke: Für eine Gerade gilt f(x) = mx + b. Bestimme zuerst die Steigung m und anschließend den y-Achsenabschnitt b.
Aufgabe 3
Richtige Antwort: D) S(3|−4)
Erklärung:
Gegeben ist:
f(x) = x² − 6x + 5
Um den Scheitelpunkt zu bestimmen, wird die quadratische Ergänzung verwendet:
x² − 6x + 5
Die Hälfte von −6 ist −3. Deshalb gilt:
x² − 6x = (x − 3)² − 9
Damit wird:
f(x) = (x − 3)² − 9 + 5
f(x) = (x − 3)² − 4
Aus der Scheitelpunktform lässt sich direkt ablesen:
S(3|−4)
Damit ist D) S(3|−4) richtig.
Merke: In der Form f(x) = (x − d)² + e liegt der Scheitelpunkt bei S(d|e).
Aufgabe 4
Richtige Antwort: B) f(x) = x³ − 2
Erklärung:
Der abgebildete Graph besitzt den typischen S-förmigen Verlauf einer kubischen Funktion.
Damit scheiden die linearen Funktionen A und E sowie die quadratische Funktion C bereits aus.
Es bleiben:
f(x) = x³ − 2
und
f(x) = x³ + 2
Der Graph schneidet die y-Achse bei:
y = −2
Für x = 0 gilt bei Antwort B:
f(0) = 0³ − 2 = −2
Bei Antwort D wäre dagegen:
f(0) = 0³ + 2 = 2
Der dargestellte Graph gehört daher zu:
f(x) = x³ − 2
Damit ist B) f(x) = x³ − 2 richtig.
Merke: Bei verschobenen Funktionen hilft häufig der Schnittpunkt mit der y-Achse, um ähnliche Graphen voneinander zu unterscheiden.
Aufgaben 5 bis 8
Aufgabe 5
Richtige Antwort: C) x₁ = −1 und x₂ = 5
Erklärung:
Gegeben ist:
f(x) = (x − 2)² − 9
Für die Nullstellen wird f(x) = 0 gesetzt:
(x − 2)² − 9 = 0
Zunächst werden 9 addiert:
(x − 2)² = 9
Nun wird die Wurzel gezogen:
x − 2 = ±3
Es entstehen zwei Fälle.
Erster Fall:
x − 2 = 3
x = 5
Zweiter Fall:
x − 2 = −3
x = −1
Die Nullstellen sind somit:
x₁ = −1 und x₂ = 5
Damit ist C) x₁ = −1 und x₂ = 5 richtig.
Merke: Beim Wurzelziehen aus einer quadratischen Gleichung musst du immer die positive und die negative Lösung berücksichtigen.
Aufgabe 6
Richtige Antwort: B) m = −1
Erklärung:
Gegeben sind die Punkte:
(2|3) und (6|−1)
Die Steigung einer Geraden berechnet sich mit:
m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁)
Einsetzen:
m = (−1 − 3) : (6 − 2)
m = −4 : 4
m = −1
Damit ist B) m = −1 richtig.
Merke: Die Steigung einer Geraden ist die Änderung der y-Werte geteilt durch die Änderung der x-Werte.
Aufgabe 7
Richtige Antwort: D) f′(x) = 54 − 2/x³
Erklärung:
Gegeben ist:
f(x) = 1/x² + 54x − 98
Zunächst wird der Bruch als Potenz geschrieben:
1/x² = x⁻²
Damit lautet die Funktion:
f(x) = x⁻² + 54x − 98
Nun werden die Terme einzeln abgeleitet.
Für x⁻² gilt nach der Potenzregel:
−2 · x⁻³
Das entspricht:
−2/x³
Für 54x gilt:
54
Die Konstante −98 fällt beim Ableiten weg.
Damit ergibt sich:
f′(x) = −2/x³ + 54
Umgestellt:
f′(x) = 54 − 2/x³
Damit ist D) f′(x) = 54 − 2/x³ richtig.
Merke: Bei der Potenzregel gilt: xⁿ wird zu n · xⁿ⁻¹. Konstanten verschwinden beim Ableiten.
Aufgabe 8
Richtige Antwort: A) 1,5x² + 4x + C
Erklärung:
Gesucht ist das unbestimmte Integral:
∫ (3x + 4) dx
Die beiden Terme können getrennt integriert werden.
Für 3x gilt:
∫ 3x dx = 3 · x²/2
Das ergibt:
1,5x²
Für die Konstante 4 gilt:
∫ 4 dx = 4x
Zusätzlich muss bei einem unbestimmten Integral die Integrationskonstante C ergänzt werden.
Damit lautet die Stammfunktion:
1,5x² + 4x + C
Damit ist A) 1,5x² + 4x + C richtig.
Merke: Beim unbestimmten Integral gehört immer eine Integrationskonstante C zur Stammfunktion.