Aufgaben 1 bis 4
Aufgabe 1
Richtige Antwort: D) 40 %
Erklärung:
Im Beutel liegen insgesamt:
2 grüne + 1 blaue + 2 weiße + 1 schwarze + 4 rote Kugeln
Das sind:
2 + 1 + 2 + 1 + 4 = 10 Kugeln
Davon sind 4 Kugeln rot.
Die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel beträgt daher:
P(rot) = 4/10
P(rot) = 0,4
In Prozent:
0,4 · 100 % = 40 %
Damit ist D) 40 % richtig.
Merke: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt: Wahrscheinlichkeit = günstige Ergebnisse : mögliche Ergebnisse.
Aufgabe 2
Richtige Antwort: B) 4/36
Erklärung:
Zwei faire sechsseitige Würfel werden geworfen.
Insgesamt gibt es:
6 · 6 = 36
gleich wahrscheinliche Zahlenpaare.
Die Augensumme 5 entsteht bei:
1 + 4
2 + 3
3 + 2
4 + 1
Es gibt also 4 günstige Ergebnisse.
Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit:
P(Summe 5) = 4/36
Damit ist B) 4/36 richtig.
Merke: Bei zwei Würfeln gibt es insgesamt 36 gleich wahrscheinliche geordnete Ergebnisse.
Aufgabe 3
Richtige Antwort: A) 2/15
Erklärung:
Im Beutel liegen:
4 rote Kugeln
6 blaue Kugeln
Insgesamt sind es 10 Kugeln.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander eine rote Kugel zu ziehen, ohne die erste Kugel zurückzulegen.
Für die erste rote Kugel gilt:
P(rot) = 4/10
Nach einer roten Ziehung befinden sich noch 3 rote Kugeln unter insgesamt 9 Kugeln im Beutel.
Für die zweite rote Kugel gilt daher:
P(rot | rot) = 3/9
Beide Wahrscheinlichkeiten werden multipliziert:
P = 4/10 · 3/9
P = 12/90
Gekürzt:
P = 2/15
Damit ist A) 2/15 richtig.
Merke: Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich nach der ersten Ziehung sowohl die Anzahl der günstigen als auch die Anzahl der möglichen Ergebnisse.
Aufgabe 4
Richtige Antwort: C) 59,8 %
Erklärung:
Der Würfel wird fünfmal unabhängig geworfen.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal eine 6 zu würfeln.
Einfacher ist es, zunächst das Gegenereignis zu berechnen:
In keinem der fünf Würfe fällt eine 6.
Die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Wurf keine 6 zu erhalten, beträgt:
5/6
Bei fünf unabhängigen Würfen gilt:
P(keine 6) = (5/6)⁵
P(keine 6) ≈ 0,4019
Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 6 ist:
P(mindestens eine 6) = 1 − 0,4019
P ≈ 0,5981
In Prozent:
P ≈ 59,8 %
Damit ist C) 59,8 % richtig.
Merke: „Mindestens einmal“ lässt sich häufig am einfachsten über das Gegenereignis „kein einziges Mal“ berechnen.
Aufgaben 5 bis 8
Aufgabe 5
Richtige Antwort: D) 20 %
Erklärung:
Ein fairer Würfel wird sechsmal geworfen.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, genau zweimal eine 6 zu würfeln.
Zunächst wird bestimmt, auf wie viele Arten die beiden Sechsen auf sechs Würfe verteilt werden können:
[\binom{6}{2} = 15
]
Für eine bestimmte Anordnung mit genau zwei Sechsen gilt:
(1/6)² · (5/6)⁴
Damit ergibt sich insgesamt:
P = 15 · (1/6)² · (5/6)⁴
P = 15 · 1/36 · 625/1296
P ≈ 0,2009
In Prozent:
P ≈ 20,1 %
Auf ganze Prozent gerundet:
20 %
Damit ist D) 20 % richtig.
Merke: Bei „genau k Treffern“ musst du sowohl die Wahrscheinlichkeit einer passenden Folge als auch die Anzahl der möglichen Anordnungen berücksichtigen.
Aufgabe 6
Richtige Antwort: A) 120
Erklärung:
Das Passwort besteht aus fünf verschiedenen Ziffern:
5, 9, 3, 8 und 2
Jede Ziffer wird genau einmal verwendet.
Für die erste Stelle stehen 5 Ziffern zur Verfügung.
Für die zweite Stelle bleiben 4 Möglichkeiten.
Danach bleiben 3, dann 2 und schließlich 1 Möglichkeit.
Damit ergibt sich:
5 · 4 · 3 · 2 · 1
= 120
Dies entspricht:
5! = 120
Damit ist A) 120 richtig.
Merke: Werden n verschiedene Elemente jeweils genau einmal angeordnet, gibt es n! mögliche Reihenfolgen.
Aufgabe 7
Richtige Antwort: C) 17.576
Erklärung:
Der Code besteht aus drei Buchstaben.
Für jede Stelle stehen die 26 Großbuchstaben A bis Z zur Verfügung.
Da Buchstaben mehrfach vorkommen dürfen, gibt es für jede der drei Stellen jeweils 26 Möglichkeiten.
Damit ergibt sich:
26 · 26 · 26
= 26³
= 17.576
Damit ist C) 17.576 richtig.
Merke: Wenn für jede Stelle dieselbe Anzahl an Möglichkeiten besteht und Wiederholungen erlaubt sind, werden die Möglichkeiten miteinander multipliziert.
Aufgabe 8
Richtige Antwort: B) 495
Erklärung:
Aus 12 Personen sollen genau 4 Personen ausgewählt werden.
Die Reihenfolge innerhalb der Gruppe spielt keine Rolle. Deshalb handelt es sich um eine Kombination.
Die Anzahl der möglichen Gruppen berechnet sich mit:
12 · 11 · 10 · 9 : (4 · 3 · 2 · 1)
Zunächst der Zähler:
12 · 11 · 10 · 9 = 11.880
Dann der Nenner:
4 · 3 · 2 · 1 = 24
Damit ergibt sich:
11.880 : 24 = 495
Es können also 495 verschiedene Gruppen aus jeweils vier Personen gebildet werden.
Damit ist B) 495 richtig.
Merke: Spielt bei einer Auswahl die Reihenfolge keine Rolle, wird mit Kombinationen gerechnet.