Aufgaben 1 bis 4
Aufgabe 1
Richtige Antwort: B) 42 cm²
Erklärung:
Für die Fläche eines Dreiecks gilt:
A = Grundseite · Höhe : 2
Gegeben sind:
Grundseite = 12 cm
Höhe = 7 cm
Einsetzen:
A = 12 cm · 7 cm : 2
A = 84 cm² : 2
A = 42 cm²
Damit ist B) 42 cm² richtig.
Merke: Die Fläche eines Dreiecks berechnest du mit Grundseite mal zugehöriger Höhe geteilt durch 2.
Aufgabe 2
Richtige Antwort: D) 282,6 cm³
Erklärung:
Für das Volumen eines Zylinders gilt:
V = π · r² · h
Gegeben sind:
r = 3 cm
h = 10 cm
π ≈ 3,14
Zunächst wird der Radius quadriert:
3² = 9
Nun werden die Werte eingesetzt:
V = 3,14 · 9 · 10
V = 282,6 cm³
Damit ist D) 282,6 cm³ richtig.
Merke: Beim Zylindervolumen wird die Kreisfläche der Grundfläche mit der Höhe multipliziert.
Aufgabe 3
Richtige Antwort: A) 120 cm³
Erklärung:
Die Pyramide besitzt eine quadratische Grundfläche mit einer Seitenlänge von 6 cm.
Zunächst wird die Grundfläche berechnet:
G = 6 cm · 6 cm
G = 36 cm²
Für das Volumen einer Pyramide gilt:
V = 1/3 · G · h
Mit h = 10 cm ergibt sich:
V = 1/3 · 36 cm² · 10 cm
V = 120 cm³
Damit ist A) 120 cm³ richtig.
Merke: Das Volumen einer Pyramide beträgt ein Drittel aus Grundfläche mal senkrechter Höhe.
Aufgabe 4
Richtige Antwort: C) 15 cm
Erklärung:
Das Dreieck ist rechtwinklig. Deshalb kann der Satz des Pythagoras verwendet werden:
a² + b² = c²
Die beiden Katheten sind:
a = 9 cm
b = 12 cm
Einsetzen:
9² + 12² = c²
81 + 144 = c²
225 = c²
Nun wird die Wurzel gezogen:
c = √225
c = 15 cm
Damit ist C) 15 cm richtig.
Merke: Im rechtwinkligen Dreieck gilt: Kathete² + Kathete² = Hypotenuse².
Aufgaben 5 bis 8
Aufgabe 5
Richtige Antwort: B) 5,4 m
Erklärung:
Die Leiter, die Wand und der Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck.
Die Leiter ist die Hypotenuse:
6,0 m
Gesucht ist die Höhe an der Wand. Diese ist die Gegenkathete zum Winkel von 65°.
Daher wird der Sinus verwendet:
sin(65°) = Gegenkathete : Hypotenuse
Also:
sin(65°) = h : 6,0
Nach h umgestellt:
h = 6,0 · sin(65°)
h ≈ 6,0 · 0,9063
h ≈ 5,4378 m
Auf eine Nachkommastelle gerundet:
h ≈ 5,4 m
Damit ist B) 5,4 m richtig.
Merke: Sinus verbindet in einem rechtwinkligen Dreieck Gegenkathete und Hypotenuse.
Aufgabe 6
Richtige Antwort: A) 9,2 m
Erklärung:
Gegeben sind:
Hypotenuse = 15,0 m
α = 52°
Gesucht ist die Ankathete zum Winkel α.
Der Kosinus verbindet Ankathete und Hypotenuse:
cos(α) = Ankathete : Hypotenuse
Einsetzen:
cos(52°) = a : 15,0
Nach a umgestellt:
a = 15,0 · cos(52°)
a ≈ 15,0 · 0,6157
a ≈ 9,2355 m
Auf eine Nachkommastelle gerundet:
a ≈ 9,2 m
Damit ist A) 9,2 m richtig.
Merke: Kosinus verbindet in einem rechtwinkligen Dreieck Ankathete und Hypotenuse.
Aufgabe 7
Richtige Antwort: D) 31,2 m
Erklärung:
Der Turm, der Boden und die Sichtlinie zur Turmspitze bilden ein rechtwinkliges Dreieck.
Gegeben sind:
horizontaler Abstand = 50 m
Höhenwinkel = 32°
Gesucht ist die Höhe des Turms.
Die Turmhöhe ist die Gegenkathete und der Abstand von 50 m die Ankathete.
Deshalb wird der Tangens verwendet:
tan(32°) = Höhe : 50
Nach der Höhe umgestellt:
Höhe = 50 · tan(32°)
Höhe ≈ 50 · 0,6249
Höhe ≈ 31,245 m
Auf eine Nachkommastelle gerundet:
Höhe ≈ 31,2 m
Damit ist D) 31,2 m richtig.
Merke: Tangens verbindet im rechtwinkligen Dreieck Gegenkathete und Ankathete.
Aufgabe 8
Richtige Antwort: C) 11,3°
Erklärung:
Die Rampe überwindet auf einer horizontalen Strecke von 6,0 m einen Höhenunterschied von 1,2 m.
Gesucht ist der Neigungswinkel α zur Horizontalen.
Dabei gilt:
Gegenkathete = 1,2 m
Ankathete = 6,0 m
Deshalb wird der Tangens verwendet:
tan(α) = 1,2 : 6,0
tan(α) = 0,2
Um den Winkel zu bestimmen, wird die Umkehrfunktion des Tangens verwendet:
α = arctan(0,2)
α ≈ 11,31°
Auf eine Nachkommastelle gerundet:
α ≈ 11,3°
Damit ist C) 11,3° richtig.
Merke: Sind Gegenkathete und Ankathete bekannt, kannst du den Winkel mit der Umkehrfunktion des Tangens bestimmen.