Aufgaben 1 bis 8
Aufgabe 1
Richtige Antwort: C) x = 6
Erklärung:
Gegeben ist die Gleichung:
3(2x − 5) + 7 = 4(x − 1) + 8
Zuerst werden die Klammern aufgelöst:
6x − 15 + 7 = 4x − 4 + 8
Nun werden beide Seiten zusammengefasst:
6x − 8 = 4x + 4
Auf beiden Seiten werden 4x abgezogen:
2x − 8 = 4
Anschließend werden 8 addiert:
2x = 12
Nun durch 2 teilen:
x = 6
Damit ist C) x = 6 richtig.
Merke: Löse bei Gleichungen zuerst die Klammern auf und fasse anschließend gleichartige Terme zusammen.
Aufgabe 2
Richtige Antwort: B) 17 cm
Erklärung:
Das Dreieck ist rechtwinklig. Die beiden Katheten sind:
8 cm und 15 cm
Gesucht ist die Hypotenuse.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
8² + 15² = c²
64 + 225 = c²
289 = c²
Nun wird die Wurzel gezogen:
c = 17 cm
Damit ist B) 17 cm richtig.
Merke: Im rechtwinkligen Dreieck gilt: Kathete² + Kathete² = Hypotenuse².
Aufgabe 3
Richtige Antwort: A) −2
Erklärung:
Gegeben ist:
f(x) = x² − 4x + 1
Gesucht ist f(3).
Dazu wird x = 3 eingesetzt:
f(3) = 3² − 4 · 3 + 1
Zuerst:
3² = 9
und:
4 · 3 = 12
Damit:
f(3) = 9 − 12 + 1
f(3) = −2
Damit ist A) −2 richtig.
Merke: Um einen Funktionswert zu bestimmen, setzt du den vorgegebenen x-Wert in die Funktionsgleichung ein.
Aufgabe 4
Richtige Antwort: D) 37,5 %
Erklärung:
Das Glücksrad besitzt insgesamt 8 gleich große Felder.
Davon sind 3 Felder blau.
Die Wahrscheinlichkeit für ein blaues Feld beträgt daher:
3 : 8 = 0,375
In Prozent:
0,375 · 100 % = 37,5 %
Damit ist D) 37,5 % richtig.
Merke: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt: Wahrscheinlichkeit = günstige Ergebnisse : mögliche Ergebnisse.
Aufgabe 5
Richtige Antwort: A) h = 2A / g
Erklärung:
Gegeben ist die Formel für die Fläche eines Dreiecks:
A = g · h / 2
Gesucht ist h.
Zunächst werden beide Seiten mit 2 multipliziert:
2A = g · h
Nun werden beide Seiten durch g geteilt:
h = 2A / g
Damit ist A) h = 2A / g richtig.
Merke: Beim Umstellen einer Formel musst du auf beiden Seiten dieselbe Rechenoperation durchführen.
Aufgabe 6
Richtige Antwort: D) x₁ = −4 und x₂ = 3
Erklärung:
Gegeben ist:
x² + x − 12 = 0
Gesucht sind zwei Zahlen, deren Produkt −12 und deren Summe +1 ist.
Diese Zahlen sind:
4 und −3
Damit lässt sich die Gleichung faktorisieren:
(x + 4)(x − 3) = 0
Nun werden beide Faktoren einzeln gleich null gesetzt.
Erster Faktor:
x + 4 = 0
x = −4
Zweiter Faktor:
x − 3 = 0
x = 3
Damit sind die Nullstellen:
x₁ = −4 und x₂ = 3
Damit ist D) richtig.
Merke: Bei einer faktorisierten quadratischen Gleichung erhältst du die Lösungen, indem du jeden Faktor einzeln gleich null setzt.
Aufgabe 7
Richtige Antwort: C) 7,4 m
Erklärung:
Das 12,0 m lange Seil bildet mit dem Boden einen Winkel von 38°.
Das Seil ist die Hypotenuse. Gesucht ist die senkrechte Höhe, also die Gegenkathete zum Winkel von 38°.
Dafür wird der Sinus verwendet:
sin(38°) = Höhe : 12
Nach der Höhe umgestellt:
Höhe = 12 · sin(38°)
Höhe ≈ 12 · 0,6157
Höhe ≈ 7,3884 m
Auf eine Nachkommastelle gerundet:
Höhe ≈ 7,4 m
Damit ist C) 7,4 m richtig.
Merke: Der Sinus verbindet im rechtwinkligen Dreieck Gegenkathete und Hypotenuse.
Aufgabe 8
Richtige Antwort: B) 3/28
Erklärung:
In der Box liegen:
5 weiße Kugeln
3 schwarze Kugeln
Insgesamt sind es:
8 Kugeln
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander eine schwarze Kugel zu ziehen, ohne zurückzulegen.
Für die erste schwarze Kugel gilt:
3/8
Danach befinden sich noch 2 schwarze Kugeln unter insgesamt 7 Kugeln in der Box.
Für die zweite schwarze Kugel gilt daher:
2/7
Die Wahrscheinlichkeiten werden multipliziert:
3/8 · 2/7 = 6/56
Gekürzt:
6/56 = 3/28
Damit ist B) 3/28 richtig.
Merke: Beim Ziehen ohne Zurücklegen verändern sich nach jeder Ziehung die Anzahl der günstigen und der insgesamt verbleibenden Ergebnisse.
Aufgaben 9 bis 16
Aufgabe 9
Richtige Antwort: C) x = 1 und x = 3
Erklärung:
Gegeben ist:
f(x) = x³ − 6x² + 9x
Gesucht sind die x-Werte, für die gilt:
f′(x) = 0
Zuerst wird die Funktion abgeleitet:
f′(x) = 3x² − 12x + 9
Nun wird die Ableitung gleich null gesetzt:
3x² − 12x + 9 = 0
Die Gleichung kann zunächst durch 3 geteilt werden:
x² − 4x + 3 = 0
Der Term lässt sich faktorisieren:
(x − 1)(x − 3) = 0
Damit gilt:
x − 1 = 0
x = 1
oder:
x − 3 = 0
x = 3
Damit ist C) x = 1 und x = 3 richtig.
Merke: Um Stellen mit f′(x) = 0 zu bestimmen, leitest du die Funktion zunächst ab und setzt anschließend die Ableitung gleich null.
Aufgabe 10
Richtige Antwort: A) x = 3,5
Erklärung:
Gegeben ist:
2^(x + 1) = 16 · √2
Zunächst werden beide Seiten als Potenzen zur Basis 2 dargestellt.
Für 16 gilt:
16 = 2⁴
Für √2 gilt:
√2 = 2^0,5
Damit ist:
16 · √2 = 2⁴ · 2^0,5
Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert:
2⁴ · 2^0,5 = 2^4,5
Damit gilt:
2^(x + 1) = 2^4,5
Da die Basen gleich sind, müssen auch die Exponenten gleich sein:
x + 1 = 4,5
Also:
x = 3,5
Damit ist A) x = 3,5 richtig.
Merke: Werden Potenzen mit gleicher Basis multipliziert, werden ihre Exponenten addiert.
Aufgabe 11
Richtige Antwort: D) 360 Liter
Erklärung:
Der rechteckige Behälter ist:
1,2 m lang
0,8 m breit
0,5 m hoch
Zunächst wird sein gesamtes Volumen berechnet:
1,2 · 0,8 · 0,5 = 0,48 m³
Der Behälter ist zu 75 % gefüllt:
0,48 m³ · 0,75 = 0,36 m³
Nun wird in Liter umgerechnet.
Es gilt:
1 m³ = 1.000 Liter
Also:
0,36 · 1.000 = 360 Liter
Damit ist D) 360 Liter richtig.
Merke: Ein Kubikmeter entspricht 1.000 Litern. Bei teilweise gefüllten Behältern berechnest du zunächst das Gesamtvolumen und anschließend den entsprechenden Prozentanteil.
Aufgabe 12
Richtige Antwort: B) 87,5 %
Erklärung:
Eine faire Münze wird dreimal geworfen.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal Kopf zu erhalten.
Am einfachsten wird zunächst das Gegenereignis berechnet:
Bei keinem der drei Würfe erscheint Kopf.
Dann muss dreimal Zahl fallen.
Die Wahrscheinlichkeit für Zahl beträgt bei jedem Wurf:
1/2
Für dreimal Zahl gilt:
1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8
Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal Kopf:
1 − 1/8 = 7/8
Als Dezimalzahl:
7 : 8 = 0,875
In Prozent:
0,875 · 100 % = 87,5 %
Damit ist B) 87,5 % richtig.
Merke: Aufgaben mit „mindestens einmal“ lassen sich häufig besonders einfach über das Gegenereignis lösen.
Aufgabe 13
Richtige Antwort: D) x₁ = 2 und x₂ = 5
Erklärung:
Gegeben ist:
x² − 7x + 10 = 0
Gesucht sind zwei Zahlen, deren Produkt 10 und deren Summe −7 ergibt.
Das sind:
−2 und −5
Damit lässt sich der Term faktorisieren:
(x − 2)(x − 5) = 0
Nun werden beide Faktoren einzeln gleich null gesetzt:
x − 2 = 0
x = 2
und:
x − 5 = 0
x = 5
Damit sind die Lösungen:
x₁ = 2 und x₂ = 5
Damit ist D) richtig.
Merke: Bei einer faktorisierten quadratischen Gleichung erhältst du die Lösungen, indem du jeden Faktor einzeln gleich null setzt.
Aufgabe 14
Richtige Antwort: C) F(x) = 2x³ − 2x² + 5x + 2
Erklärung:
Gegeben ist:
F′(x) = 6x² − 4x + 5
Gesucht ist eine Stammfunktion F(x).
Die einzelnen Terme werden integriert.
Aus:
6x²
wird:
2x³
Aus:
−4x
wird:
−2x²
Aus:
5
wird:
5x
Damit lautet die allgemeine Stammfunktion:
F(x) = 2x³ − 2x² + 5x + C
Zusätzlich ist gegeben:
F(0) = 2
Einsetzen von x = 0:
2 = 2 · 0³ − 2 · 0² + 5 · 0 + C
Damit:
C = 2
Die gesuchte Stammfunktion lautet:
F(x) = 2x³ − 2x² + 5x + 2
Damit ist C) richtig.
Merke: Beim unbestimmten Integral entsteht zunächst eine Integrationskonstante C. Eine zusätzliche Bedingung wie F(0) = 2 ermöglicht es, diese Konstante zu bestimmen.
Aufgabe 15
Richtige Antwort: A) 105
Erklärung:
Aus sieben Bewerbenden wird zunächst ein Team mit drei Personen ausgewählt.
Da die Reihenfolge innerhalb des Teams keine Rolle spielt, gibt es:
35 verschiedene Dreierteams
Für jedes dieser 35 Teams kann anschließend eine der drei Personen zur Teamleitung bestimmt werden.
Damit ergibt sich:
35 · 3 = 105
Es gibt also insgesamt:
105 verschiedene Kombinationen aus Team und Teamleitung
Damit ist A) 105 richtig.
Merke: Werden zunächst Personen ausgewählt und anschließend innerhalb der ausgewählten Gruppe unterschiedliche Rollen vergeben, müssen beide Entscheidungsschritte berücksichtigt werden.
Aufgabe 16
Richtige Antwort: B) 43,0°
Erklärung:
Gegeben sind:
Ankathete = 9,5 cm
Hypotenuse = 13,0 cm
Gesucht ist der Winkel α.
Kosinus verbindet Ankathete und Hypotenuse:
cos(α) = Ankathete : Hypotenuse
Einsetzen:
cos(α) = 9,5 : 13
cos(α) ≈ 0,7308
Nun wird die Umkehrfunktion des Kosinus verwendet:
α = arccos(0,7308)
α ≈ 43,0°
Damit ist B) 43,0° richtig.
Merke: Sind Ankathete und Hypotenuse bekannt, bestimmst du den Winkel mit der Umkehrfunktion des Kosinus.